Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per by Luca Formaggia, Fausto Saleri, Alessandro Veneziani

By Luca Formaggia, Fausto Saleri, Alessandro Veneziani

Questo testo contiene una raccolta di esercizi riferiti agli argomenti tipici di un corso di metodi analitici e numerici proposto in un corso di laurea in Ingegneria o in Matematica. A partire da esercizi di analisi funzionale e di teoria dell'approssimazione, il testo sviluppa problemi legati alla risoluzione con metodi numerici di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico ed iperbolico, scalari o vettoriali, in una o pi? dimensioni spaziali. Si affrontano quindi problemi di pura diffusione o di pura convezione, accanto a problemi di diffusione-trasporto e problemi di fluidodinamica comprimibile ed incomprimibile. Particolare enfasi viene facts al metodo degli elementi finiti in line with los angeles discretizzazione in spazio dei problemi considerati, anche se sono presenti esercizi sul metodo delle differenze finite e dei volumi finiti. l. a. presenza di problemi dipendenti dal pace giustifica l'esistenza di un capitolo di esercizi sui problemi di Cauchy e sulle principali tecniche numeriche consistent with los angeles loro discretizzazione. Ogni paragrafo ? preceduto da un breve richiamo delle principali nozioni di teoria necessarie affinch? l'allievo possa risolvere gli esercizi proposti. los angeles risoluzione della maggior parte degli esercizi si avvale della libreria MLife, sviluppata dagli autori, in linguaggio MATLAB. Questo consente l'immediata verifica da parte degli studenti delle principali propriet?  teoriche introdotte.

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3 (x1 , 0) = φ4 (x1 , 0) = 0 Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ × φi ÑÓ 12 ÙÒÕÙ TK (x1 ) = TK (x1 , 0) = V1 + φ2 (x1 , 0)l12 = V1 + x1 l12 ¸ ÔÖÓÔÖ Ó 12 г ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ Ô ×× ÒØ Ô Ö V1 ÓÖ ÒØ Ø ÓÑ l12 º ÁÒÓÐØÖ ¸ TK (0) = V1 12 12 TK (1) = V2 º ÉÙ Ò Ð³ ÑÑ Ò x = TK (x1 ) ÙÒ ÔÙÒØÓ (x1 , 0) ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÐÐ K Ð Ð ØÓ Ú ÖØ TK Ö Ñ ÒØ ÔÖ × ÒÞ ÐÒ Ö ÑÓÒÓÑ ÑÓÒÓ V2 Ô x1 x2 Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Ö TK ¸ ÓÑÔÓÒ ÒØ ×ÙÐ Ð ØÓ l12 º Ò ÔÙÒØ ÒØ ÖÒ x1 x2 x3 ´Ó Ñ Ò× ÓÒ Ð º ÉÙ Ò Ò Ö Ð ¸ Ó×Ø ÒØ º Ä Ù V1 ÒÓÒ Ð Ò ¿ ÒÚ ÖØ |J(TK )| > 0 Ö × ¸ Ô Ö ÑÓ Ò Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ØØ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ò J(TK ) ÒÓÒ × Ö ¸ Ò ¹ Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÐгÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ Þ ÓÒ K¸ µ¸ Ù× Ø Â Ó ÐØ ×Ù Kº ÁÒ TK,1 Ò Ó ÓÒ TK,2 Ð Ò Þ ÓÒ ¸ ∂TK,1 ∂TK,1 ∂x1 ∂x2 .

6 b4 V b K ÒÚ ÖØ Ð ´ b2 V x1 × Ò ×ØÖ µ Ò Ö ´ ½º ÔÔÖÓ×× Ñ Þ ÓÒ ½º ÔÔÖÓ×× Ñ Þ ÓÒ ÒØ ØÓ ÙÒÓ ×Ô Þ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ÒØ Ð Ñ ÒØ Ö Ù ÒØ ¸ Ð Ñ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Xh ⊂ V (Ωh ) ÒØ Th ¸ Ð ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ð³ÓÔ ÒØÖÓ ÙÖÖ ÐÐ Ö ØÓÖ ÒØ ¾ Ð Ñ ÒØ V (Ωh ) ×Ô Þ Ó Ð ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Πh Nh Πh : V (Ωh ) → Xh , Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ××Ó i=0 ØÓ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ K ∈ Th ¸ b N ΠK v(x) = σi (v)φi (x). Πh v(x) = ΠK : V (K) → PK ÐÓ Ð Ä³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ω ÑÑ Ö ×ÙÐØ Ñ ÒÓ ÓÚÚ Ä Ò Þ ÓÒ Ø Ð Ð ØØÓÖ Ø ×Ø ØÓ ÒØ Ö ×× ØÓ ÔÙ ÐÕÙ ÒØÓ Ð Ö Ò Pr Ð Ñ ÒØ Ò Ð ×Ó Ô ÓÒ×ÙÐØ Ö Ò Ö Ð º Ö Ó r¸ ÓÒ r > 0 Ð Ñ ÒØ Qr ÓÒ Ð Ø r Ù× Ö ÑÓ Ð ÒÓØ Þ ÓÒ Πh Ô Ö Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ 0 v ∈ C (Ωh ) Ò Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ Ð Ñ ÒØ Ä Ωh º ij ×Ø Ò× ÓÒ Ò Ö Ð Ø Ð ×Ø Ò× ÓÒ Ò ØÓ Ô Ö ÙÒÞ ÓÒ ×Ù Ωh ⊆ Ω º Æ ÕÙ ÐÓÖ Ò Ö Ó x ∈ K.

Q v dx = 3µ(L /4)v(L) + 0 ÕÙ ×ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñº ÁÒ L ′ ′ T v dx ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú 0 Ô Ö T Ø ÖÑ Ò ÒÓØÓ ××Ó × ×Ø L2 (0, L)º ÁÒ
ÓÖÔÓÖ Ò Ó 0 ij Ò Ð × ÓÒØ ÒÙ Ö Ð 2 + 0 ¹ г ÒØ L ′ ′ µ ÑÓ Ö v∈V L Ø ´¾º¾ µ 0 ´¾º¾ µ × ×Ø ÖØ Ñ ÒØ × H 1 (0, L)º È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ñ ÒØ × v ∈ L2 (0, L) Ò ÕÙ Þ ÓÒ ÓÒ ΓD = {0}¸ Ð º ÇØØ Ò ÑÓ Q v dx. = 0 Ö Ð Ö ÒÞ L ′ ′ ÐÐÓ ×Ô Þ Ó Ð ×ÓÐ ØÓ¸ ÑÓÐØ ÔÐ Ò Ó V = HΓ1D Ð Ø ÖÑ Ò L ÁÐ ÔÖ ÑÓ ÒØ ÓÚ ÐÐ ×Ù Ù Ð ÒÞ ÔÙ ØØ ¸ Ð ×× Ö ÓÖÑ ØØÙ Ø ÐÒ Ö Ñ Ò¹ a(T, v) ≡ Ù Ý¹Ë Û ÖØÞ |a(T, v)| ≤ µ||T ′ ||L2 (0,L) ||v ′ ||L2 (0,L) ≤ µ||T ||H 1 (0,L) ||v||H 1 (0,L) ; ¾º½ Ó Ö Ú ¹ Ô Ö ÔÔÖÓ×× Ñ Þ ÓÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ×Ù Ù Ð ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ ÒÞ ÈÓ Ò Ö L µ 2 a(T, T ) = µ T ′ T ′ dx = µ||T ′ ||L2 (0,L) ≥ Ò Ð 2 1 + CP2 0 Ô Ö Ó Ò Ñ Ò× ÓÒ Ð ||T ||H 1 (0,L) 1 T ∈ H (0, L)º F (v) ≡ 3µ(L2 /4)v(L) + ÙÒÞ ÓÒ Ð 2 Q ∈ L (0, L)¸ Ô Ö ÔÔÐ Þ ÓÒ ÐÐ ×Ù Ù Ð L 0 ÒÞ Q v dx ÓÒØ ÒÙÓ¸ ØÖ ´ ×× Ò Ó º½¾µ ٠ݹ Ë Û ÖØÞ |F (v)| ≤ 3γµ(L2 /4) + ||Q||L2 (0,L) ||v||H 1 (0,L) .

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